La forme correcte et la plus naturelle en français standard est « Je vais chez le coiffeur ». Voici pourquoi.
On dit « chez le coiffeur » parce qu'on parle du lieu où travaille le coiffeur, c'est-à-dire son salon ou son établissement. En français, chez s'emploie souvent pour parler du lieu associé à une personne.
« Je vais au coiffeur » se comprend, mais cette tournure est moins correcte en français standard. On préfère « chez le coiffeur », parce qu'on ne va pas à la personne elle-même : on va dans son salon.
On utilise aussi chez avec d'autres professionnels :
Une astuce simple : quand tu vas voir une personne dans son lieu de travail, on utilise souvent « chez ». On dit donc « chez le coiffeur », « chez le médecin » ou « chez le dentiste ».